تغيير الأبعاد وحجم المخروط

يطلب منك هذا الدرس أن تبيّن كيف يؤثر تغيير الأبعاد في المحيط والمساحة والحجم، وأن تحلّ مسائل بعلاقات الحجوم. يقدّم المتحف المربع الذي يتضاعف ضلعه وحجم المخروط والهرم بالثلث؛ أما المنشورات والأسطوانات والمساحة السطحية فيأتي بها صفّك. ¹

ارسم المربع بضلع واحد ثم اثنين ثم ثلاثة، وسجّل المساحات. اسأل كيف تتغير المساحة حين يتضاعف الضلع، ثم فكّر فيما قد يحدث للحجم حين تتضاعف الأبعاد كلها.

في باب المساحة عند الخوارزمي، كما يروي السجل، المخروط المحدد الرأس تكسيره ثلث تكسير أسفله في عموده، والمخروط المقطوع يُكمل حتى يصير محدداً ثم يُطرح منه ما زيد ^{2 3}. وفي دراسة قياس الكاشي للمقرنص درس قريب في تغيير المقياس. فمن أرقام الأجزاء في الشكل 8: مساحة المعين ذي الزاوية 45 درجة نحو 0.707107، ونصفه 0.353553، وهي أعداد بوحدة المقياس المربعة، لا سنتيمترات ولا أحجام حفر ⁴. وتكبير كل طول مرتين يكبر المساحة أربعاً؛ ووحدات الشكل والتكبير جزء من صحة الجواب ⁵.

يذكر الخوارزمي في مقدمة كتابه أن مساحة الأرضين من الحاجات التي وضعه لها ⁶. ولا يحفظ السجل جملة يشرح فيها الخوارزمي أو الكاشي لماذا عالجا الأجسام أو السقوف. وفي حالة الكاشي تفرق دولد-سامبلونيوس بين ما قاله النص وما تستنتجه: فتفسيرها قلة عناية المؤلف بالنوع المستوي قياساً بالمقوس محاولة لفهم عدم الاتساق، لا شهادة مباشرة على نيته ⁷.

قد توحي الأرقام ذات المنازل الكثيرة بدقة مطلقة، لكن السجل يقول إن أرقام الكتاب الكثيرة لا تتحول إلى وعد بدقة مطلقة لكل سطح منحني ⁸. ففي المقوس تجمع قواعد الخلايا وتضرب في معامل تشرح الباحثة أنه متوسط يفيد في توحيد الحساب؛ وليس رقماً سحرياً صالحاً لأي انحناء يختاره المصمم ⁹.

تكشف دولد-سامبلونيوس تناقضاً في المسقط: فاعتبار مساحة السقف مساوية للمساحة التي يقام عليها المقرنص يتعارض مع السقوف المائلة في التعريف والأمثلة ¹⁰. وهي نفسها لا تعرف اشتقاق بعض القيم المعطاة للعناصر الوسيطة، وتحصل بإعادتها على أرقام مختلفة ⁹. ويقول السجل إن القراءة لا ينبغي أن تكون احتفالاً يخفي التناقض ولا رفضاً شاملاً بسببه ¹⁰.

تجد دولد-سامبلونيوس أن خطوة في طريقة الكاشي تتعارض مع السقوف المائلة في تعريفه وأمثلته. خذ موقفاً: هل ينبغي للطالب أن يتعلم الطريقة مع ذلك؟ وما أقوى اعتراض على موقفك، وكيف تجيب عنه؟

• علم المساحة: قاعدة ثلث الأساس في العمود للمخروط والهرم، والمخروط المقطوع.
• قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص: أرقام الشكل 8، والمعامل المتوسط، وما لا تعرفه الباحثة.
• مفتاح الحساب: الكتاب الذي حفظ الطريقة وما قرأه المتحف منه.
• الخوارزمي: سجل صاحب باب المساحة.

اقرأ علم المساحة وقياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص. اصنع نموذجاً من الورق لهرم وقارن بحساب حجمه بقاعدة الثلث، واكتب ما يفعله ضعف الطول بالمساحة.