طريقة ابن الهيثم لتعيين الانعكاس على مرآة دائرية

إذا عرفت موضع جسم وموضع عين، فأين ينبغي أن ينعكس الضوء على مرآة دائرية ليصل بينهما؟ هذا هو السؤال الذي ترتبط به مسألة ابن الهيثم؛ مساهمته هنا مقدمات هندسية وتطبيقات في المقالة الخامسة من كتاب المناظر، لا اختراع المرآة أو اكتشاف قانون الانعكاس من الصفر ². يعرض البحث الحديث سوابق للمسألة والهندسة المستخدمة فيها، ثم يميز عمله عن تبسيطات المؤتمن بن هود اللاحقة ^{3 4}. لا تعني شهرة الاسم أن لكل وضع نقطة انعكاس واحدة أو أن كل الحالات عولجت معالجة مكتملة.

المعطيات دائرة تمثل المرآة في المستوى، ومركزها، ونقطتان تمثلان الجسم والعين؛ والمطلوب إنشاء نقطة على المحيط تحقق تساوي زاويتي السقوط والانعكاس بالنسبة إلى العمود المحلي ⁵. في الدائرة يكون نصف القطر إلى النقطة عمودياً على المماس، ولذلك لا نقيس الزاوية دائماً إلى خط أفقي ثابت. تختلف المسألة عن رسم وتر يصل نقطتين، وعن مجرد فحص شعاع مرسوم سلفاً: موضع التقاء المسارين نفسه مجهول ⁶. والطريقة إنشاء رياضي، لا آلة مستخرجة من موقع أثري أو مرآة أصلية نسبت إلى المؤلف. وجود رسم يطرح السؤال ليس بحد ذاته برهاناً على حله.

ينسب عرض ماث وورلد صياغة أقدم للسؤال إلى بطليموس؛ ننقل النسبة من هذا المرجع، لا ندعي قراءة نص بطليموس مباشرة ³. أما بعض الهندسة المساعدة فله تاريخ أكثر تحديداً في الدراسة المقروءة: مسألة إدخال قطعة معلومة الطول بين مستقيمين، مع امتداد يمر بنقطة معلومة، حلت عند بابوس بتقاطع قطع زائد ودائرة، وانتقلت إلى نصوص أحمد بن موسى وثابت بن قرة ⁷. يربط هوخندايك هذه البراهين بخواص من قطوع أبولونيوس؛ ليس استعمال القطع الزائد اختراعاً له كله، ولا كل مسألة إنشاء مرآة تطبيقاً جديداً من غير سابقة ⁸.

تظهر المقدمات داخل بحث بصري، لكنها مسائل هندسية مترابطة: تستخدم مقدمة في أخرى، ثم تعود النتائج إلى تعيين مواضع الانعكاس ⁹. يجعل ذلك القارئ يميز بين الأداة الرياضية والغاية التي أعدت لها؛ ليست كل صفحة عن دائرة رسماً لمرآة مصنوعة. يضع البحث تأليف المناظر في مصر في القرن الحادي عشر؛ نكتفي في تاريخ السجل بهذا الإطار الواسع ولا نخترع يوماً أو سنة لاختراع الطريقة ¹⁰. ومصر هنا سياق المؤلف، لا عنوان ورشة تحققنا منها؛ سيرته المصرية موثقة، لكن ذلك لا يثبت أين رسم كل برهان أو أي مرآة استخدم فعلياً ¹¹.

الإطار السني: تحفظ البطاقة أساس تعريف ابن الهيثم بوصفه مسلماً في مصادره الفردية، مع التمييز بين الإطار السني المعلن للمتحف وشهادة صريحة على مذهبه الشخصي؛ لم يسم المصدر المقروء مدرسة فقهية له ^{12 11}. لا نستنتج اعتقاده من اسم عربي أو إقامة في دولة معينة.

دوره هنا تطوير البناء الهندسي وبعض براهينه، لا ابتكار كل ما يدخل فيه. يقرر هوخندايك أن برهان ابن الهيثم في إحدى الإنشاءات المساعدة أبسط من براهين بابوس وأحمد وثابت لأنه يستعمل خاصية أخرى للقطع الزائد أنسب للمطلوب ⁷. ثم يصف تعديلات المؤتمن وتعميماته، فلا نعيد نسبتها إلى ابن الهيثم ولا نحول المؤتمن إلى ناسخ بلا مساهمة ⁴. التفريق بين الأدوار جزء من الإنصاف لا انتقاص من أحد.

يسمي العرض مركز الدائرةG والنقطتينA وB ونقطة الانعكاسX؛ الشرط أن تتساوى الزاويتان على جانبي المستقيمXG في الحالة المناسبة، مع مراعاة كون السطح مقعراً أو محدباً وموقع الجسم والعين ⁵. لا يكفي أن تتقاطع قطعتان على المحيط؛ ينبغي أن يحقق المسار شرط الانعكاس في الوضع الهندسي المقصود.

للبناء العام مقدمات تحول المطلوب إلى تقاطعات وقطع ذات أطوال ونسب معلومة؛ في المقدمتين الأوليين مثلاً يعالج ابن الهيثم قطعة بين محيط دائرة وقطر، ويفصل حال وقوعها داخل الدائرة عن خارجها ¹³. يستخدم بعض العمل تقاطع دائرة وقطع زائد؛ لا تتحول الصعوبة إلى خطوة مسطرة وفرجار فقط بمجرد رسم المنحنيين على الصفحة ¹⁴.

وفي مثالنا التعليمي الحديث فقط، خذ دائرة مركزها(0,0) ونصف قطرها1، والجسمA=(2,1) والعينB=(2,−1). تحقق النقطةX=(1,0) زاويتين مقدار كل منهما45 درجة إلى العمود الأفقي عندها؛ هذا فحص لحالة متناظرة سهلة، لا أرقام ابن الهيثم ولا تنفيذ لكل مقدماته ¹⁵. يتغير اتجاه الشعاع عندX، أما خطا نصف القطر والمماس فمتعامدان. لا يثبت المثال أن الحالات غير المتناظرة تحل بالطريقة البسيطة نفسها، ولا أنه يكفي تخمين منتصف كل قوس.

الشاهد المحدد على التلقي هو عمل المؤتمن في الاستكمال؛ يقارن هوخندايك ترتيب مسائله وترتيب مقدمات المناظر، ويرى أن المطابقة تدل على استعماله للكتاب رغم عدم تصريحه بمصادره ¹⁶. وينسب إليه التبسيطات باستدلال تاريخي، لا بتوقيع يعلن فيه المؤلف ملكية كل تعديل ¹⁷. ويذكر ترجمة المناظر اللاتينية الوسيطة وطبعها سنة1572 بوصفهما شاهدين نصيين؛ لا يعني تاريخ الطبع أن المسألة ولدت يومئذ ¹⁶. هذه حدود انتشار مسند، وليست قائمة شاملة بمن قرأ الكتاب أو درس كل برهان فيه.

يجمع الحل بين قانون الزاويتين المعروف والإنشاءات المساعدة؛ يبين البحث حضور مسائل بابوس وخواص أبولونيوس وتقاليد عربية أقدم، ويحدد موضع تعديل البرهان بدلاً من نسبة كل الهندسة إلى شخص واحد ¹⁸. ويفرق بين استخدام دائرة بوصفها محلاً هندسياً واستخدامها سطح انعكاس؛ الأشكال قد تتشابه لكن الوظيفة تختلف. لا ننشئ اعتماداً على تجربة الحجرة المظلمة لمجرد أن المؤلف نفسه كتبها، ولا على طريقة القوى الرابعة للحجوم لأنها تستعمل الرياضيات أيضاً. اختلاف السؤال والدليل يحفظ استقلال هذه المساهمات، والتقارب في السيرة ليس دليلاً على نسب تقني مباشر.

يصف هوخندايك أن المؤتمن جمع بعض الحالات التي فصلها ابن الهيثم، وجعل الوتر المعطى أعم من قطر، واختصر بعض البرهان اختصاراً كبيراً ¹³. لكن الاختصار ليس شهادة على أنه أصلح كل التطبيق البصري؛ الدراسة تقول صراحة إنه لا دليل على تحسينه جميع المسائل التطبيقية التي تناقشها ¹⁹. تحفظ البطاقة الأمرين معاً، فلا تساوي التلقي بالتكرار ولا تجعل كل تعديل انتصاراً نهائياً. ولا تملأ قائمة المبتكرات التابعة بكاميرات أو برمجيات حديثة من غير مصدر يثبت انتقالاً محدداً إليها. ما لدينا هنا تاريخ استدلال وبناء، لا شجرة نسب صناعي مكتملة.

الأثر الموثق في الصفحات المقروءة معرفي: صارت معرفة قانون الانعكاس سؤال إنشاء، أي البحث عن الموضع الذي يحقق الشرط بين معطيات بعينها ². يمكن لقارئ اليوم أن يميز بهذا بين شرح لماذا ينعكس شعاع وبين العثور على شعاع يصل جسمه بعينه. لا يذكر البحث عدد مرايا أنتجتها الطريقة أو ثمنها أو مقدار تحسن رؤية جهاز مبني بها؛ لا نضيف تلك النتائج الاقتصادية أو الطبية بالتخمين. وتحويل المسألة في العرض الحديث إلى كرة ترتد عن طاولة مستديرة تشبيه رياضي، لا رواية عن أن ابن الهيثم صنع طاولة بلياردو أو استعمل لعبة حديثة في تجربته ²⁰.

تكشف المقارنة كيف يمكن لتاريخ العلم أن يقيس فرقاً محدداً في البرهان: خاصية هندسية بديلة عند ابن الهيثم، ثم دمج وتعميم عند المؤتمن، مع بقاء سوابق أقدم ⁴. وتفتح مقارنة النسخ سؤالاً آخر عن انتقال النص: يرى هوخندايك أن اشتراك الاستكمال والترجمة اللاتينية في بعض الصيغ والأشكال قد يدل على نسخة عربية غربية مختلفة ²¹. هذا احتمال يستدل له، لا مخطوط جديد رأيناه أو حكم بأن المترجم اللاتيني أصلح كل شيء. قيمة الشاهد تاريخية محددة، ولا تستلزم الادعاء أن هذه المقدمات وحدها أسست كل البصريات أو كل هندسة التصوير.

اسم المسألة لا يمحو السؤال الأقدم المنسوب لبطليموس، ولا يجعل المقدمات المأخوذة من تقاليد القطوع اختراعات منفصلة لابن الهيثم ^{3 7}. الجديد الموصوف تطوير هندسي وبراهين وتطبيقات داخل المناظر، وتأتي بعده تعديلات لها أصحابها ⁹. والحدود مهمة: يصف هوخندايك مناقشة بعض حالات المرآة المقعرة بأنها غير مرضية، مع إمكان تعدد مواضع الانعكاس؛ لا ننسب إلى ابن الهيثم حلاً وحيداً شاملاً لكل ترتيب ¹⁹.

ومن الخطأ أيضاً القول إنه كتب حلاً جبرياً عاماً للمعادلة الرباعية: تذكر حاشية البحث التكافؤ الحديث مع معادلة من الدرجة الرابعة، وتصرح بأن الرياضيين العرب في القرون الوسطى لم يعرفوا هذا التكافؤ ²². التشابه الذي يستطيع القارئ الحديث صياغته ليس إعلاناً تاريخياً للمؤلف.

تبقى المسألة موضوعاً تعليمياً له صياغات حديثة ومقابلات مع المثلث والقطع الناقص؛ يعرض ماث وورلد هذه العلاقات ومراجع حلول لاحقة، من غير أن يعني ذلك أننا قرأنا كل مرجع في قائمته ²³. وعدم إمكان الحل العام بالمسطرة والفرجار لا يمنع حالة متناظرة يسهل فحصها؛ مثال45 درجة عندنا حالة خاصة، وليس نقضاً للقيد العام ²⁴. كذلك لا تثبت مطابقة زاويتين على رسم واحد استكمال حصر الفروع أو صلاحية مرآة مصنوعة: السؤال الرياضي والدقة التجريبية ومسار التلقي أسئلة مختلفة. لا يقدم الموقع محاكياً بصرياً أو وصفة لصنع جهاز.

قرأنا من دراسة هوخندايك المنشورة سنة1996 الصفحات59–75 في نسخة يستضيفها المؤلف، وفحصنا صور59–65؛ لم نقرأ المقال كله أو مخطوطة المناظر أو كامل مقالة صبره1982 ²⁵. توجد في الدراسة ترجمة لمقدمات المؤتمن، فلا نحول نصوصه المعدلة إلى اقتباسات من ابن الهيثم. أما مصدر المناظر العربي المسجل سابقاً في المتحف فيغطي المقالات1–3، لا المقالة الخامسة؛ يستعمل هنا لحفظ أساس السيرة لا لإيهام قراءة مادة لا يحتويها ²⁶. صورةHB الحديثة تطرح السؤال بعلامة استفهام قرب الدائرة وشمعة وعين مرسومة، ولا تعرض مساراً محلولاً أو رسماً تاريخياً للمؤلف ²⁷.

يساعد الاسم المشهور على تذكر صاحب مساهمة، لكنه قد يخفي آخرين إذا تحول إلى شعار ملكية مطلقة. يعرض المتحف السؤال الأقدم، ثم تطوير ابن الهيثم، ثم ما يحدده البحث من تعديل المؤتمن؛ لا يحتاج هذا التسلسل إلى محو اليوناني أو العربي السابق أو المساهم اللاحق ^{3 4}. وتستحق الصعوبة نفسها العرض: معرفة قاعدة عامة لا تجعل كل مسألة تطبيقية سهلة. أما تصوير العين والشمعة في الرسم الحديث فهو لغة تعليمية لمواضع الجسم والمشاهد، لا صورة لشخص تاريخي، ولا دليل على الجهاز الذي استخدمه العالم ²⁸.

يمكن رسم دائرة على ورقة ووضع نقطة على حافتها، ثم وصلها بالمركز لرؤية العمود المحلي. قارن خطين يصنعان معه زاويتين متساويتين، وميز بين أن تفحص جواباً جاهزاً وأن تبحث عن نقطة مجهولة ²⁹. في المثال المتناظر لدينا يمكن عكس موضعي الجسم والعين حول المحور الأفقي وملاحظة بقاء مقدار الزاويتين؛ هذه تجربة رسم وليست اكتشافاً لقانون جديد. لا تستعمل الشمس أو ليزراً أو مرآة تجمع الضوء، ولا تحاول إجراء مشاهدة على العين. يكفي الورق لفهم السؤال: هل كل نقطة على الدائرة تصلح؟ وإذا نجحت نقطة سهلة، فهل أثبتنا بذلك نجاحها لكل موضع آخر؟

• ²⁵ — دراسة مقروءة بمقارنة تاريخية وحدود صريحة؛ ليست قراءة لكل الأصول التي تحيل إليها.
• ³⁰ — تعريف وصيغ حديثة ونسبة السؤال الأقدم.
• ^{12 11} — أساس الهوية الفردية والسيرة؛ لا مقال خامس في طبعة1–3.
• ³¹ — HB،14 يناير2019، CC BY-SA4.0؛ أصل الصورة غير معدل.