قياس الأرض والدوائر والسقوف

يطلب منك هذا الدرس أن تحل مسائل المحيط ومحيط الدائرة والمساحة والحجم ومساحة السطح للأشكال المركّبة والأجسام ثلاثية الأبعاد بصيغ مناسبة. ويقدّم المتحف ثلاث بطاقات عن قياس المساحات والدائرة وسقف المقرنص؛ أما المسائل والصيغ والحسابات فعلى صفّك أن يجريها. ¹

ارسم شكلاً مركّباً، ثم قسّمه إلى أشكال تعرف صيغة مساحتها. احسب كل جزء، ثم اجمع، وقل أي صيغة استعملت لكل جزء ولماذا. وتحقق من إجابتك بطريقة تقسيم أخرى.

يقسم باب المساحة عند الخوارزمي المثلثات إلى ثلاثة أجناس: قائمة وحادة ومنفرجة. وفي المثلث الحاد المختلف الأضلاع، وأضلاعه 13 و14 و15 ذراعاً، يُعرف «مسقط الحجر» والعمود بالجبر والمقابلة، فيخرج العمود اثني عشر والتكسير أربعة وثمانين ^{2 3}. ومن مسائل الباب مربع داخل مثلث ساقاه عشرة أذرع وقاعدته اثنا عشر: يُجعل ضلع المربع «شيئاً» فيخرج أربعة أذرع وأربعة أخماس ذراع ^{4 5}.

لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها الكاشي لماذا قاس المقرنص. وهي تبين أين وضعه: فالدراسة تضع المقرنص في آخر أقسام الفصل التاسع من المقالة الرابعة من مفتاح الحساب، وهو فصل قياس المنشآت والأبنية، وهذا الترتيب يربطه بمسائل المساحات السابقة ^{6 7}. وتشير الدراسة إلى أن كثيراً من أشكال السقوف سبق بحثها في الفصل الثاني من المقالة نفسها ⁸.

العدد الطويل الذي يُنسب إلى الكاشي ليس العدد pi نفسه. فالنسبة pi هي محيط الدائرة مقسوماً على قطرها في الهندسة المستوية المعتادة، أما 2pi فهو محيط دائرة نصف قطرها وحدة واحدة، وخلطهما يضاعف النتيجة خطأ. وينقل أوكتن للكاشي العدد العشري 6.2831853071795865، وهو قيمة تقريبية لضعف النسبة، لا قيمة pi نفسها ⁹.

يقول زميل لك إن العدد 6.2831853071795865 هو pi. ماذا ستطلب منه أن يتحقق منه، ولماذا يغيّر تمييز السجل بين النسبة وضعفها جواب مسألة عن محيط دائرة؟

• علم المساحة: المثلثات الثلاثة، ومسألة المربع داخل المثلث، وغيرها من قواعد الباب.
• حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة: ما العدد الذي نقله أوكتن وما لم يقله.
• قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص: كيف تُجمع مساحات سقف مركب.

اقرأ عن علم المساحة وعن حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة وعن قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص. اختر قاعدة واحدة، وطبّقها على شكل من صفّك، وقارن نتيجتك بصيغة تعرفها.