قصة نسبة المحيط إلى القطر

يطلب منك هذا الدرس أن تبحث في مفهوم هندسي، وتروي قصة تطوّره واستعماله في ثقافة بعينها، وتصف صلته بالمهن وبالمجالات الأخرى. يقدّم المتحف قصة واحدة هي تقريب نسبة المحيط إلى القطر في العالم الإسلامي؛ أما صلتها بالمهن وبثقافات أخرى فيأتي بها صفّك. ¹

قارن القيم الثلاث التي يذكرها الخوارزمي ثم قيمة الكاشي، وانظر كم منزلة تتفق. ما الذي يتغير حين تزيد الدقة، وما الذي يبقى مجهولاً؟

يقول الخوارزمي في باب المساحة إن جعل المحيط القطر في ثلاثة وسبع «اصطلاح بين الناس من غير اضطرار»، ويذكر لأهل الهندسة قولين آخرين: أن تضرب القطر في مثله ثم في عشرة وتأخذ الجذر، وقول أهل النجوم أن تضرب القطر في 62832 وتقسم على 20000؛ ويقول إن ذلك كله قريب بعضه من بعض ². وفي مسألة الدائرة التي قطرها سبعة أذرع يجعل المحيط اثنين وعشرين ذراعاً ³. وبعد قرون تؤرخ ماكتوتر رسالة الكاشي المحيطية بسنة 1424، وتذكر إخراج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية ⁴.

لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها الكاشي لماذا طلب هذه الدقة. وتصف إيرانيكا، كما ينقل سجل حسابه، قلقاً من التواء الآلات الكبيرة، فالدقة الهندسية والعددية والمادية مترابطة وليست شيئاً واحداً ⁵. وتؤكد السير المقروءة جمعه بين الهندسة والحساب ⁶. أما الخوارزمي فيذكر في مقدمة كتابه أن مساحة الأرضين من الحاجات التي وضعه لها ⁷، ويسمّي القيمة الشائعة اصطلاحاً لا ضرورة ².

لا يزن الخوارزمي القيم الثلاث كما يزنها محققا طبعة القاهرة. فهو يقول إنها كلها قريب بعضها من بعض ². ويعلّق المحققان بأن أقرب هذه القيم إلى الحقيقة قيمة أهل النجوم، وأبعدها جذر العشرة، وينقلان حاشية المخطوط التي تقول إن ذلك «تقريب لا تحقيق» لأن الخط المحيط ليس بمستقيم ⁸. وينبّه المحققان على أن جعل المحيط اثنين وعشرين ذراعاً في مسألة القطر سبعة أذرع تقريبي ³.

يُنسب إلى الكاشي أحياناً أنه اخترع الكسور العشرية، لكن ماكتوتر، كما ينقل السجل، تضع الكسور العشرية والجذور ضمن عمل سابق، ومنه رجال مدرسة الكرجي والسموأل. فلا يصح الانتقال من «استعمل الكسور بمهارة» إلى «اخترع كل كسر عشري»، ومقارنة زمن إنجازه بنتائج أوروبية لاحقة لا تثبت أن أصحابها قرؤوه؛ فالأسبقية الزمنية غير الاتصال النصي ⁹.

يطبع أوكتن 6;16,59,28,1,34,51,46,15,50 في النظام الستيني و6.2831853071795865 في العشري. لكن الفحص الحسابي للنص المنشور يكشف فرقاً: تحويل المتتالية الستينية كما تظهر حرفياً يعطي نحو 6.2831853071795924، لا العدد العشري المطبوع معها. ويسجل السجل عدم التطابق ولا يصحح خانة تاريخية بالتخمين، ولأن الأصل لم يُقرأ فلا يُعرف هل الخلل في النقل أو الطباعة أو غيرهما ¹⁰. ويسمّي أوكتن طبعة لوكي وترجمتها الألمانية، ولم يقرأ المتحف الرسالة الأصلية ولا الطبعة الألمانية ¹¹.

يسمّي الخوارزمي القيمة المعتادة اصطلاحاً لا ضرورة ويقول إن القيم الثلاث قريبة بعضها من بعض، بينما يرتّبها المحققان بحسب قربها من الحقيقة. خذ موقفاً: هل يهمّ الفرق بين القيم الثلاث حين يقيس بنّاء دائرة قطرها سبعة أذرع؟ وما أقوى اعتراض على موقفك، وكيف تجيب عنه؟

• علم المساحة: القيم الثلاث كما يرويها السجل، وتعليق المحققين.
• حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة: العدد في النظامين، وتحذير السجل من الخلط بين النسبة وضعفها.
• الرسالة المحيطية: ما قرأه المتحف من وصفها وما لم يقرأه.
• غياث الدين الكاشي: سجل صاحب الرسالة.

اقرأ علم المساحة ثم حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة. احسب محيط دائرة قطرها سبع وحدات بكل قيمة من القيم المذكورة، وقارن النتائج.